Théorème de Pythagore

Pré-requis

• Savoir calculer la surface d'un carré
• Savoir calculer la surface d'un triangle
• Savoir ce qu'est le carré d'un nombre
• Savoir ce qu'est la racine carrée d'un nombre

Démonstration

On constate que le carré central, incliné, a les 4 côtés d'une longueur égale à c. La surface d'un carré valant côté fois côté, la surface de ce carré vaut c x c, soit en condensé c2

Ce carré central, incliné, est entouré de 4 triangles rectangles. Chaque triangle à une base égale à a et une hauteur égale à b. La surface d'un triangle valant base fois hauteur sur 2, la surface de l'un d'eux vaut (a x b) / 2

La surface des 4 triangles vaut donc 4 x (a x b) / 2, soit 2 x (a x b), soit 2 x a x b, en condensé 2ab

La surface totale du carré et des 4 triangles vaut donc c2 + 2ab

Le petit carré incliné et les 4 triangles dessinent un grand carré dont le coté vaut a + b. La surface d'un carré valant côté fois côté, la surface du grand carré vaut (a + b) x (a + b), soit a2 + ab + ba + b2, soit a2 + ab + ab + b2, soit a2 + 2ab + b2

La surface du petit carré et des 4 triangles vaut celle du grand carré. Donc c2 + 2ab = a2 + 2ab + b2, soit c2 = a2 + b2.

Représentation graphique de
c² = a² + b²

c vaut la racine carrée de c2, soit en condensé `c=sqrt(c^2)`.

Or, c2 = a2 + b2, donc

`class{ascii-fondBlanc}{c=sqrt(a^2+b^2)}`

Le côté opposé à l'angle droit d'un triangle rectangle est appelé hypoténuse

Donc, l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la racine carrée de la somme des carrés des deux autres côtés.

Histoire

Le premier qui a fait cette démonstration (et dont le nom nous est connu) s'appelait Pythagore, né vers 580 avant Jésus-Christ, sur l'île grecque de Samos. Cette découverte est connue sous le nom de théorème de Pythagore.

Le théorème de Pythagore est un "pont aux ânes". Ceux qui ne comprennent pas cette démonstration sont alors considérés comme des ânes.

Conséquence

Réciproque du théorème : Si le carré du plus grand côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

Si, entre trois points, les distances valent 3, 4, 5 alors les trois points sont les sommets d'un triangle rectangle (car 32 + 42 = 52 <=> 9 + 16 = 25).

Si ces 3 distances (3, 4 et 5) sont multipliés par un même facteur, alors les trois points sont encore les sommets d'un triangle rectangle. Avec un facteur 10, 302 + 402 = 502 <=> 900 + 1600 = 2500)

Application

Il est facile de construire des murs perpendiculaires d'un bâtiment situé en plein champ. Il suffit de planter 3 tiges verticalement dont les distances sont : 3x, 4x et 5x. où x est un nombre raisonnable.

Supposons que le bâtiment doit faire 13 mètres de long sur 7 mètres de large. On pourrait choisir un x valant 4. Ainsi, 3(4), 4(4) et 5(4) et donc planter les trois tiges à 12m, 16m et 20m. Ces trois tiges seront les sommets d'un triangle rectangle (car, 12x12 + 16x16 = 20x20 <=> 144 + 256 = 400).

Il suffit de planter une première tige, la seconde à 12 m de la première, la troisième à 16 m de la première ET à 20 m de la seconde.

Détermination des 3 points :

Le point A se confond avec la tige 1. Le point B est à 7 m du point A en direction de la tige 2. Le point C est à 13 m du point A en direction de la tige 3. (La diagonale BC relie les points B et C).

Détermination du dernier point

Le point D est situé à 13 m du point B ET à 7 m du point C.

On sait que le bâtiment est bien rectangulaire lorsque la diagonale BC vaut la diagonale AD. (Si les deux diagonales n'ont pas la même longueur, la forme est celle d'un parallélogramme)

On constate qu'on peut trouver les points A, B, C et D sans utiliser de calculatrice (comme le faisait les anciens).

Avec une calculatrice, le point B est à 7 m du point A et point C est à 13 m du point A ET à 14,764 m du point B (soit racine carré de la somme des deux autres côtés, soit racine carrée de (7x7 + 13x13), soit racine carré de (49 + 169), soit racine carrée de 218 = 14,7648230602334...). Les diagonales BC et AD valent 14,764 m.