Histoire
Vers 250 avant JC, le grec Archimède est le premier savant (connu) à donner une façon de calculer π. Pour cela, il encadre un cercle par deux polygones réguliers. Il n'a trouvé que les deux premières décimales.
La valeur approximative de π était connue avant Archimède. En effet, il suffit de faire rouler une roue après avoir dessiné finement un rayon (comme dans l'animation ci-dessus). Et, il est possible qu'un autre savant, inconnu, avait trouvé cette méthode avant lui.
Démonstration
Pré-requis
- Savoir que l'hypoténuse vaut la racine carrée de la somme des carrés des deux
autres côtés.
(Voir le théorème de Pythagore) - Savoir qu'une bissectrice est une droite qui coupe un angle en deux parties égales.
- Savoir qu'une tangente :
- au sens géométrique, est une droite perpendiculaire au rayon d'un cercle et qui le touche un (seul) point.
Connaissances recommandées
- Savoir que la somme des angles d'un polygone ayant n côtés, vaut
2 x (n-2) x 90°.
La somme des angles d'un triangle vaut 180°; celle d'un quadrilatère, 360°; ... - Savoir qu'une tangente :
-
au sens trigonométrique, est la longueur du segment de la tangente, [segment] délimité par les deux droites passant par le centre du cercle et délimitant un angle, [longueur] exprimée en nombre de rayon.
Cette longueur varie de 0 à l'infini. Elle est inférieure à 1 lorsque l'angle est inférieur à 45°
- Connaître la valeur de tangente 30° (= 0,577...)
-
Hexagones
Ci-dessous, lorsqu'on parle d'hexagone, on parle d'hexagone régulier (= ayant 6 côtés égaux et 6 angles égaux)
On peut dessiner un hexagone à l'intérieur d'un cercle ayant le même centre et qui le touche 6 fois (au niveau de ses arêtes). Et, on peut dessiner un hexagone à l'extérieur de ce même cercle ayant le même centre et qui le touche 6 fois (au niveau du milieu de ses côtés).
On voit que la circonférence (= le périmètre du cercle) sera supérieur au périmètre de l'hexagone intérieur, mais inférieur au périmètre de l'hexagone extérieur.
La rotation autour du centre valant 360°, les six rayons passant par les sommets des hexagones dessinent des angles de 60° (360°/6). Ainsi, chaque angle au sommet d'un triangle coïncidant avec le centre vaut 60°.
Le schéma ci-dessus ne reprend qu'un seul triangle.
La somme des angles d'un polygone ayant n côtés valant 2 x (n-2) x 90°, celle d'un hexagone vaut 2 x (6-2) x 90° = 2 x 4 x 90° = 720°. L'hexagone étant régulier, il dispose de 6 angles de 120°.
Chaque rayon passant par un sommet de l'hexagone est une bissectrice d'un angle de 120°. De chaque côté de cette bissectrice, l'angle vaut 60°. Chaque angle au sommet d'un triangle coïncidant avec un sommet de l'hexagone vaut 60°.
Tous les angles des 6 triangles valent 60°. Ces 6 triangles sont équilatéraux et chaque côté vaut la longueur du rayon du cercle qui l'entoure.
Donc, le périmètre de l'hexagone intérieur étant composé des 6 côtés de triangles équilatéraux valant une fois le rayon du cercle, le périmètre de l'hexagone inscrit (dans le cercle) vaut 6 rayons.
La circonférence du cercle (2π R) est supérieure au périmètre de l'hexagone inscrit (dans ce cercle). Donc, la demi-circonférence du cercle (π R) est supérieure au demi-périmètre de l'hexagone inscrit.
Pour simplifier les calculs, on considère que la longueur du rayon vaut 1 (OX=OY=OB=1).
Donc, π est supérieur au demi-périmètre de l'hexagone inscrit.
Le demi-périmètre de l'hexagone vaut 3.
Donc, π est supérieur à 3,000 ...
Mais, π est inférieur à combien ?
Pour le savoir, il faut maintenant calculer le demi-périmètre de l'hexagone qui entoure le cercle.
Le triangle OBA est un triangle rectangle en B (car la droite passant par les points AB est une tangente en B).
La bissectrice de l'angle XOY, passant par le point O, coupe le cercle au point B. La longueur AB correspond donc au demi côté de l'hexagone extérieur et donc au douzième de son périmètre.
AB = tan 30° = 0,577...
Le demi-périmètre de l'hexagone extérieur vaut 6 * AB = 6 * tan 30° = 3,464...
6 * 0,577 = 3,462. Mais, 6 * tan 30° = 3,464101615137754587054892683011...
La valeur de π est entre 3,000 et 3,465. Ce qui se note : 3,000 < π < 3,465
Si un nombre est inférieur à 3,464... alors il est sûrement inférieur à 3,465 (et à 3,47).
On comprend que plus le polygone aura de côtés, plus le polygone ressemblera au cercle, plus l'écart entre les deux bornes sera réduit.
Lorsque le polygone a 6 côtés, ces bornes sont : 3,00 et 3,47.
Archimède a utilisé un polygone de 96 côtés pour trouver les deux premières décimales. (= pour savoir que π est entre 3,14 et 3,15.)
Polygones à 12, 24, 48, 96 côtés
Dodécagones
Polygones à 24 côtés
Polygones à 48 côtés
Polygones à 96 côtés
On constate visuellement que, plus le nombre de côtés augmente, plus les polygones (intérieur et extérieur) ressemblent à un cercle.
Et, on peut constater mathématiquement que les deux bornes se rapprochent.
Au lieu de calculer deux périmètres de polygones ayant le même nombre (n) de côtés (pour trouver les deux bornes entre lesquelles se trouve le nombre π), il est plus rentable de calculer le périmètre d'un polygone ayant n côtés et celui d'un polygone ayant 2*n côtés.
De plus, il ne sera plus nécessaire de connaître les valeurs de différentes tangentes.
En ne calculant que des polygones intérieurs au cercle, on ne trouvera qu'une seule borne ! Mais, en faisant ce choix, on sait que leurs périmètres seront toujours inférieurs à la circonférence. Ainsi, les décimales "acquises" seront celles confirmées par le dernier calcul.
Le côté d'un polygone (S1) peut être divisé en parties égales par la bissectrice de l'angle délimité par un sommet du polygone, son centre et son second sommet. Cette bissectrice est une perpendiculaire au côté.
Le triangle ayant pour côtés a, R et (S1)/2 est un triangle rectangle dont la
longueur d'un seul côté, a, est inconnue. Mais, grâce au théorème de Pythagore, on peut
la trouver car on sait que
R² = a² + ((S1)/2)² <=>
a² = R² - ((S1)/2)² or R²=1 (car R=1)
<=> a² = 1 - ((S1)/2)²
`class{ascii-fondBlanc}{a=sqrt(1-(S_1/2)^2}`
a + b = rayon = 1. Puisque la longueur de a est connu, ainsi que celle du
rayon, on peut trouver celle de b.
`class{ascii-fondBlanc}{b=1-a}`
Le côté d'un polygone ayant deux fois plus de côtés (S2) peut être connu car il est l'hypoténuse d'un triangle rectangle ayant comme deux autres cotés : b et (S1)/2
`class{ascii-fondBlanc}{S_2=sqrt(b^2+(S_1/2)^2}`
Partons de l'hexagone.
On sait alors que S1 vaut 1. Donc, en appliquant les formules,
`a=sqrt(1-(1/2)^2`,
a = 0,86602540378443864676372317075294...
Nous connaissons le nombre avec suffisamment de décimales pour le considérer comme exact. Notre erreur finale sera négligeable si nous conservons le maximum de décimales.
a = 0,86602540378443864676372317075294 (sans les petits points indiquant que la valeur n'est pas exacte)
b = 0,13397459621556135323627682924706
Dans les expressions mathématiques, le point décimal est utilisé (au lieu de la virgule).
S2, le côté du polygone ayant deux fois plus de cotés,
`S_2=sqrt((0.13397459621556135323627682924706)^2+(0.5)^2`,
S2 = 0,5176380902050415246977976752481
Le demi-périmètre de dodécagone vaut donc 3,1058285412302491481867860514886
Donc, π est supérieur à 3,10.
Maintenant que nous connaissons précisément la longueur d'un coté du dodécagone, nous pouvons trouver la longueur d'un coté du polygone à 24 côtés, en réutilisant les formules.
On sait alors que S1 vaut maintenant 0,5176380902050415246977976752481.
Donc,
`a=sqrt(1-(0.5176380902050415246977976752481/2)^2` ,
a = 0,9659258262890682867497431997289
b = 0,0340741737109317132502568002711
`S_2=sqrt((0.0340741737109317132502568002711)^2+(0.5176380902050415246977976752481/2)^2`
,
S2 = 0,26105238444010318309681245579098
Le demi-périmètre du polygone à 24 cotés vaut donc 3,1326286132812381971617494694918
Donc, π est supérieur à 3,13.
Maintenant que nous connaissons précisément la longueur d'un coté d'un polygone à 24 cotés, nous pouvons trouver celle d'un côté d'un polygone à 48 côtés, en réutilisant les formules.
On sait alors que S1 vaut maintenant 0,26105238444010318309681245579098.
Donc,
`a=sqrt(1-(0.26105238444010318309681245579098/2)^2`,
a = 0,99144486137381041114455752692857
b = 0,00855513862618958885544247307143
`S_2=sqrt((0.00855513862618958885544247307143)^2+(0.2610523844401031830968124557909/2)^2`
,
S2 = 0,13080625846028613363063111755031
Le demi-périmètre du polygone à 48 cotés vaut donc 3,1393502030468672071351468212075
Donc, π est supérieur à 3,13.
Maintenant que nous connaissons précisément la longueur d'un coté d'un polygone à 48 cotés, nous pouvons trouver celle d'un côté d'un polygone à 96 côtés, en réutilisant les formules.
On sait alors que S1 vaut maintenant 0,13080625846028613363063111755031.
Donc,
`a=sqrt(1-(0.13080625846028613363063111755031/2)^2` ,
a = 0,99785892323860350673806979127278
b = 0,00214107676139649326193020872722
`S_2=sqrt((0.00214107676139649326193020872722)^2+(0.13080625846028613363063111755031/2)^2`
,
S2 = 0,06543816564355228412731985263455
Le demi-périmètre du polygone à 96 cotés vaut donc 3,1410319508905096381113529264584
Donc, π est supérieur à 3,14.
Aujourd'hui, via un tableur, il est facile de calculer le demi-périmètre d'un polygone ayant 25 165 824 côtés ... et ainsi trouver 14 décimales.
Cette video (en anglais) vous explique comment créer un tel tableur.
Vous pouvez aussi télécharger ce tableur : archimede.ods (au format Open Office). Ce tableur montre aussi qu'en utilisant 4 décimales (valeur de la cellule B30 = 4), on ne trouve pas 3,14 ... En remplaçant 4 par 5 dans la cellule B30, s'affiche 3,14...
En pratique, connaître les deux premières décimales de π est suffisant.
- Exemple. En utilisant une roue de 2 m de diamètre (plus haute que vous), vous direz que sa circonférence vaut 6,28 m (au lieu de 6,283185... et vous commettrez donc une erreur de 3 mm (trop court)).
-
Si vous roulez sur 100 km avec des roues de 1 m de rayon, votre erreur sera d'environ 48 m. (100 km => 15.923,56 rotations. Avec une erreur de 0,003 m par rotation, l'erreur totale sera de 47,7... m). Si vous parcouriez ces 100 km en décrivant un cercle autour de la Tour Eiffel, un observateur qui y serait placé serait donc placé à 15,923... km de vous. Et, il ne verrait pas la différence, car il ne vous verrait plus ! Car, le diamètre de la roue (2 m) vu à 16 km est aussi grand qu'un dizième de millimètre à 1 m des yeux.
En utilisant 3,1416 comme valeur de π, vous direz que sa circonférence vaut 6,2832 (au lieu de 6,283185... et vous commettrez donc une erreur d'environ 15 millièmes de mm (trop grand). Erreur que vous ne sauriez probablement pas mesurer !)
La course aux décimales
En 1424, dans son ouvrage intitulé Risala al-mouhitiyy (« Traité de la circonférence »), à partir de la méthode des polygones d'Archimède, en utilisant exclusivement la base 60 (sexagésimale), al-Kashi calcule 10 chiffres sexagésimaux de π, soit 16 chiffres décimaux exacts. Il publie ainsi le calcul suivant :
2π = 6 * 600 + 16 * 60−1 + 59 * 60−2 + 28 * 60−3 + 1 * 60-4 + 34 * 60-5 + 51 * 60-6 + 46 * 60-7 + 14 * 60-8 + 50 * 60-9, ce qui donne, en décimal : 3,1415926535897932… (Source)
En 1593, François Viète trouve la formule suivante :
`class{ascii-fondBlanc}{pi/2=(2/sqrt(2))*(2/sqrt(2+sqrt(2)))*(2/sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2))))* ...}`
π = 2 * 1,414213... * 1,082392... * 1,019591... * ...
En 1735, Léonhard Euler trouve la formule suivante :
`class{ascii-fondBlanc}{pi^2/6=1/1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2}`
(π2)/6 = 1 + 0,25 + 0,111111... + 0,0625 + 0,04 + 0,0277777... + ...
Aujourd'hui, en utilisant un algorithme performant, on peut trouver le nombre π avec 15 000 de décimales, en une seconde, sur un simple PC, après avoir compilé le code source suivant (écrit en C) :
int a[52514],b,c=52514,d,e,f=1e4,g,h;main()
{for(;b=c-=14;h=printf("%04d",e+d/f)) for(e=d%=f;g=--b*2;d/=g)
d=d*b+f*(h?a[b]:f/5),a[b]=d%--g;}
Ce code, les liens vers les explications de l'algorithme et les 15 000 décimales sont publiées sur drgoulu.com/2004/06/28/pi-en-c
Pour ne pas devoir compiler ce code source, vous pouvez télécharger decimalesPi.exe (2 560 octets). Il ne fonctionnera que sous un Windows 64 bits. Toutefois, veuillez noter que, lors du téléchargement, votre système vous préviendra que ce fichier a été "bloqué" car il présente un risque potentiel pour votre ordinateur (comme tout exécutable non signé). Il sera alors téléchargé sous un autre nom (tel que "Non confirmé xxxxx.crdownload") Scannez le fichier avec votre anti-virus. Puis, renommez-le avec l'extension .exe et double-cliquez.
Ci-dessous les 1 000 premières décimales :
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196 4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273 7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094 3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912 9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132 0005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235 4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859 5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303 5982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989...
Le 14 mars 2019, Emma Haruka Iwao, employée au département Cloud de Google, est entrée Guiness World Records pour avoir réussi à trouver 31 415 926 535 897 décimales (soit plus de 31 mille milliards de décimales) au nombre π (après avoir fait fonctionner 25 machines durant 121 jours). Lire l'article sur le blog de Google.
Mille milliards = 1012. Il est impossible de connaître le nombre π avec 1080 décimales, car 1080 correspond au nombre estimé d'atomes dans l'univers. Il n'existe pas de support, dans l'univers, capable de stocker un nombre avec un tel nombre de décimales.
Connaître les 30 premières décimales du nombre π par cœur épatera vos amis lors d'une soirée. Mais, en connaître plus n'a aucune utilité physique. Voir : Importance des décimales. Toutefois, trouver un très grand nombre de décimales reste un bon moyen d'évaluer la puissance de calcul d'un ordinateur.
Phrase mnémotechnique
La longueur de chaque mot correspond à une décimale.
Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages ! (3.1415926535)
Immortel Archimède, artiste, ingénieur, (8979)
Toi de qui Syracuse aime encore la gloire, (32384626)
Soit ton nom conservé par de savants grimoires ! (43383279)