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Géométrie plane

Géométrie analytique plane

Notions de base : droite, segment, figure géométrique, ...

Une série infinie de points (qui se "touchent") est une ligne.

Une ligne est droite ou pas. La ligne qui n'est pas droite est courbe. Lorsque la ligne est limitée par deux points, on parle de segment (de droite ou de courbe)

Segment est le terme utilisé par dire un morceau (de ligne). S'il n'est pas précisé, segment signifie segment de droite. Un arc est un segment d'une courbe géométrique (tel qu'un cercle ou une ellipse).

Une ligne qui revient à son point de départ délimite une surface.

La géométrie ne concerne que les figures sont caractérisées. Ces figures reçoivent un nom.

Pourquoi préciser "plane" ?

Par 3 points, il ne passe qu'un seul plan.

La géométrie plane est celle apprise jusqu'à la fin du secondaire. Toutes les formes géométriques sont alors dessinées dans un plan (comme une feuille de papier posée sur une table).

Il existe aussi la géométrie des solides : cube, cylindre, cône, tétraèdre, sphère, ...

Certains solides sont particulièrement étudiés. Ainsi, la géométrie sphérique est particulièrement étudiée dans le cadre de l'aéronautique ou l'étude de l'espace.

Triangle

Géométrie analytique

Le message affiché (tel qu'un résultat) est copié dans le presse-papier.
Les nombres décimaux s'affichent avec le point décimal.

Distance entre 2 points

Coordonnées du premier point, P1 :

Coordonnées du second point, P2 :

Angle d'une droite (par rapport à l'horizontale)

Coefficients de la droite (non verticale) : y = a * x + b

y = * x +

Le coefficient de x, a, est la tangente de l'angle entre la droite et l'horizontale.
Exemple. Si ce coefficient vaut 1, l'angle vaut +45° (car la tangente de 45° vaut 1).

Le coefficient de x de sa perpendiculaire vaut -a.

La valeur du terme indépendant, b, est sans importance pour la détermination de l'angle.

Équation d'une droite passant par deux points

Coordonnées du premier point, P1 :

Coordonnées du second point, P2 :

Équation de la droite :

Équation d'une perpendiculaire passant par un point

Coordonnées du point, C2 :

Équation de la perpendiculaire :

Coordonnées d'un point d'intersection (entre 2 droites)

Coefficients de la droite : y = m1.x + p1

Coordonnées du point, X :

Les coordonnées du point d'intersection, P, entre une horizontale y = b (puisque a = 0) et une verticale x = c sont P(c,b).

Si les deux droites sont verticales, elles sont parallèles (voire confondues).

Si m1=m2, elles sont parallèles (voire confondues).

Équation d'une droite polaire (passant par 2 points tangents issus de deux droites passant par le même pôle)

Dans un système de coordonnées (informatique), l'origine (0,0) est située dans le coin supérieur gauche et l'axe des coordonnées (axe des y) pointe vers le bas.

Les boutons ci-dessous ne font que pré-remplir le formulaire.
Vous pouvez donc encore modifier un ou plusieurs champs.

 

Exemple. Construire un

Coordonnées du centre :

Rayon :

Coordonnées du point d'intersection :

Ce point, P0, appelé pôle, ne peut pas être à l'intérieur du cercle.


Équation de la droite polaire (passant par P1 et P2) :
NB : Les points peuvent être confondus.

Coordonnées des 2 points

Équation d'une droite passant par les points d'intersection entre deux cercles

5 cas possibles

Avec d, distance entre les centres, r1 et r2 les rayons :

  • si d > (r1 + r2) les cercles sont trop éloignés et il n'y a pas d'intersection ;
  • si d < | r1 - r2 | ) un cercle est à l'intérieur de l'autre et il n'y a pas d'intersection ;
  • si d = 0 et r1 = r2 ) les cercles sont confondus et il y a un nombre infini de points d'intersection ;
  • si d = r1 + r2 ) il n'y a qu'un seul point d'intersection ;
  • si d < r1 + r2 ) il y a deux points d'intersection.

Illustrations

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Vous pouvez donc encore modifier un ou plusieurs champs.

Coordonnées du centre, C1 :

Rayon, r1 :

Coordonnées du centre, C2

Rayon, r2 :

Équation de la droite passant par P1 et P2 :
NB : Les points peuvent être confondus.

Cette droite est perpendiculaire à la droite passant par les centres, C1 et C2.

Coordonnées des 2 points

Coordonnées des points d'intersection entre un cercle et une droite

Coordonnées du centre, C :

Rayon, r :


Coordonnées du point P1 :

x1 =

y1 =

Coordonnées du point P2 :

x2 =

y2 =

Avec ces formulaires, il est, par exemple, possible de déterminer le centre et le rayon d'un cercle passant par 3 points donnés (P1, P2, P3).

 Piste
  1. Trouver l'équation de la droite D1 passant par P1, P2. Puis, celle de la droite D2 passant par P2, P3.
  2. Trouver les coordonnées des points X1, X2, situés à mi-distance, respectivement, sur les droites D1 et D2.
  3. Trouver l'équation de la droite L1 perpendiculaire à D1 passant par X1. Puis, celle de la droite L2 passant par X2.
  4. Le point d'intersection des droites L1 et L1 est le centre du cercle cherché.
  5. La distance entre ce centre et un des points donnés est la longueur du rayon cherché.

TODO : Afficher le graphique correspondant aux données fournies.

Plus d'informations (PDF, 171 pages)

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